Troisième identité et complément de cours sur la factorisation

La troisième identité remarquable :

Il s’agit en quelque sorte de la “jumelle” de la première identité remarquable :

a² − 2ab + b² = (a − b)²

Exemple :

x² − 10x + 25 = (x − 5)²

C’est la même méthode de repérage que pour (a + b)² :

• premier terme : un carré (x²)
• dernier terme : un carré (25 = 5²)
• terme du milieu : le double produit avec un moins (−10x = −2 × x × 5)

Tableau récapitulatif des trois identités

Attention, il n'existe pas d'identité pour a² + b² . Cette somme ne se factorise pas (avec des nombres réels). C'est un piège : ne pas « inventer » (a + b)² = a² + b², c'est faux (il manque le 2ab).

Lien avec les équations du second degré :

La factorisation n'est pas juste un exercice de style : Il s’agit de l’outil principal pour résoudre les équations du second degré.

La chaîne complète est :

1. On a une équation ax² + bx + c = 0.
2. On factorise le trinôme (grâce au discriminant Δ ou à une identité remarquable).
3. On obtient un produit : a(x − x₁)(x − x₂) = 0.
4. On utilise la règle : « un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul » → x = x₁ ou x = x₂.

Exemple complet

Résoudre x² − 49 = 0 :

• C'est une différence de deux carrés → identité a² − b² :
• (x − 7)(x + 7) = 0
• Un produit est nul si un facteur est nul → x − 7 = 0 ou x + 7 = 0
• Solutions : x = 7 ou x = −7

Nous venons de résoudre une équation du second degré sans discriminant, simplement avec la factorisation. Quand c'est possible, la factorisation est plus rapide que Δ.

À retenir : on barre des facteurs (multiplications), on résout grâce à des produits, mais on ne touche jamais aux termes d'une somme.

Rappel de cours sur la factorisation :

• a/1 = a : tout entier est une fraction (7 = 7/1). Diviser par 1 ne change rien.
• b/0 est IMPOSSIBLE : on ne divise jamais par 0. Ce n'est pas « interdit par convention », c'est vraiment impossible : aucun nombre multiplié par 0 ne peut redonner b

Méthodes résumées (utile à la veille d’un contrôle par exemple) :

Pour calculer avec des fractions

1. Repérer l'opération : + ou − → mettre au même dénominateur ; × → multiplier haut avec haut, bas avec bas ; ÷ → multiplier par l'inverse.
2. Simplifier d'abord chaque fraction si possible (plus facile avant qu'après !).
3. Faire le calcul en respectant les priorités (× et ÷ avant + et −).
4. Simplifier le résultat jusqu'à obtenir une fraction irréductible.

Pour factoriser une expression

1. Chercher un facteur commun (un nombre, une lettre, ou les deux) → le mettre devant une parenthèse.
2. Sinon, regarder la forme de l'expression :
   • deux carrés séparés par un « moins » → a² − b² = (a − b)(a + b) ;
   • deux carrés + un double produit → (a + b)² ou (a − b)² selon le signe du milieu.

3. Toujours vérifier en redéveloppant : on doit retrouver l'expression de départ.
4. Une fois factorisée, l'expression peut : se simplifier dans une fraction, ou donner les solutions d'une équation produit.

Les 4 choses à ne pas oublier

1. On n'additionne pas « en croix » : (a+c)/(b+d) est faux.
2. On ne barre que des facteurs, jamais des termes d'une addition.
3. On ne divise jamais par 0.
4. a² + b² ne se factorise pas.