Les équations du second degré

Définitions et vocabulaire :

Une équation du second degré (ou de « degré 2 ») est une équation qui peut s'écrire sous la forme :

ax² + bx + c = 0

Avec a, b, c des nombres réels, et a ≠ 0 (autrement ce n'est plus du second degré)

a = coefficient de x² (le “coefficient dominant”)

b = coefficient de x

c = constante (terme indépendant)

ax² + bx + c = le trinôme du second degré

Pourquoi appelle-t-on cela un “trinôme” ? Car il a trois termes :

- ax² (le terme de degré 2)

- bx (le terme de degré 1)

- c (le terme de degré 0, la constante)

• Racine (ou solution) de l'équation : un nombre x₀ tel que a·x₀² + b·x₀ + c = 0.
• Discriminant : le nombre noté Δ (delta), défini par Δ = b² − 4ac : son signe dit combien de solutions il y a.

Formules magiques :

- Le discriminant

(Qui s’écrit “Δ” =     Δ = b² − 4ac     )

Sur un graphique, Δ compte les “passages au sol” de la courbe

- Les racines selon le signe de Δ :

- La forme factorisée

Si Δ > 0 : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Si Δ = 0 : ax² + bx + c = a(x − x₀)²

- Le sommet de la parabole

La courbe de f(x) = ax² + bx + c est une parabole, de sommet S de coordonnées :

• abscisse : x_S = −b / (2a)
• ordonnée : y_S = f(−b / (2a))

Elle est tournée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0.

- Somme et produit des racines

Quand les deux racines x₁ et x₂ existent :

• Somme : x₁ + x₂ = −b / a
• Produit : x₁ × x₂ = c / a

Cette relation permet de vérifier ses calculs ou de deviner des racines « évidentes » : si l’on trouve une racine entière simple (souvent 1, 2 ou −1), l'autre s'obtient par le produit ou la somme.

Exemple concret : « à quelle hauteur arrive un ballon ? » :

On lance une balle depuis le sol. Sa hauteur (en mètres) à l'instant t (en secondes) vaut :

h(t) = −5t² + 20t

Question 1 : quand la balle retombe-t-elle au sol ?

On résout h(t) = 0, soit −5t² + 20t = 0 (ici a = −5, b = 20, c = 0).

Δ = 20² − 4 × (−5) × 0 = 400

Δ > 0, donc deux racines :

• t₁ = (−20 − √400) / (2 × (−5)) = (−20 − 20) / (−10) = 4
• t₂ = (−20 + 20) / (−10) = 0

La balle touche le sol à t = 0 (départ) et retombe à t = 4 s.

Question 2 : quelle est la hauteur maximale ?

Le maximum est atteint au sommet, en t = −b / (2a) = −20 / (2 × (−5)) = 2 s.

h(2) = −5 × 4 + 20 × 2 = 20 m

La balle monte jusqu'à 20 m à mi-parcours, puis redescend. La parabole est tournée vers le bas car a = −5 < 0.

Graphique qui illustre le problème :

Cas particuliers et pièges classiques :

1 : oublier un signe « − » dans b ou c

Si l'équation est x² − 3x − 4 = 0, alors b = −3 (et non 3) et c = −4.
Ici : Δ = (−3)² − 4 × 1 × (−4) = 9 + 16 = 25 → racines x₁ = −1 et x₂ = 4.

2 : diviser par une expression qui peut être nulle

Pour résoudre x² = 3x, ne pas simplifier par x. On passe tout du même côté :

x² − 3x = 0 ⟺ x(x − 3) = 0 ⟺ x = 0 ou x = 3

Simplifier par x ferait perdre la solution x = 0.

3 : Δ négatif ne veut pas dire « erreur »

Si Δ < 0, l'équation n'a pas de solution réelle. Ce n'est pas un échec de calcul : c'est la réponse ! (On écrit : S = ∅, l'ensemble vide.)

4 : quand il n'y a pas de terme en x ou de constante

• Équation de la forme x² = k : pas besoin du discriminant !
  • si k > 0 : deux solutions x = √k et x = −√k ;
  • si k = 0 : une solution x = 0 ;
  • si k < 0 : aucune solution.
• Équation de la forme ax² + bx = 0 : factoriser directement par x (comme dans l'exemple du ballon).

5 : vérifier que c'est bien du second degré

• Dans x² + x + 1 = 0 : a = 1 ≠ 0, OK.
• Mais dans (x + 1)² = x² + 5, les x² s'annulent : c'est du premier degré (2x + 1 = 5, donc x = 2)

6 : le dénominateur 2a garde son signe

Dans x = (−b ± √Δ) / (2a), si a est négatif, le dénominateur est négatif.

Astuce : toujours vérifier avec la somme et le produit

Après avoir calculé x₁ et x₂, contrôler rapidement :

• x₁ + x₂ = −b / a ?
• x₁ × x₂ = c / a ?

Méthode résumée :

1. Mettre l'équation sous la forme ax² + bx + c = 0.
2. Identifier clairement a, b, c (avec leurs signes !).
3. Calculer Δ = b² − 4ac.
4. Selon le signe de Δ, conclure :
   • Δ > 0 : deux racines avec les formules ;
   • Δ = 0 : une racine double −b / (2a) ;
   • Δ < 0 : pas de solution réelle.

5. Vérifier avec la somme/produit des racines, ou en remplaçant dans l'équation (prendre la solution que trouvée, et la substituer à x dans l'équation de départ pour voir si le résultat est bien 0)
6. Ne pas oublier : si b = 0 ou c = 0, une factorisation directe est souvent plus rapide que le discriminant.

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Si le cours n’est pas clair, cherchez toujours plusieurs exemples d’application concrets afin de les comparer et au moins de repérer les éléments des formules.