Fractions et factorisations

Définition :

Une fraction est une écriture d'un nombre sous la forme a/b, où :

• - a est le numérateur (ce qu'on prend, le nombre de parts)
• - b est le dénominateur (en combien de parts on découpe l'unité)

Elle représente une division : a/b = a ÷ b.

Par exemple, 3/4 = « je coupe en 4 et j'en prends 3 ».

Une fraction est aussi un quotient exact : 3/4 = 0,75 sans approximation.

Les formules et propriétés essentielles :

1. Simplification (propriété fondamentale) : on peut multiplier ou diviser le haut et le bas par le même nombre non nul :

a   =   a x k   =   a ÷ k

b        b x k        b ÷ k

2. Addition / soustraction : il faut le même dénominateur :

a  +  c  =  a + c      et      a  +  c  =  ad + bc

b      b         b                  b      d          bd

3. Multiplication : on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

a  x  c  =  ac      

b     d       bd                       

4. Division : multiplier par l'inverse :

a ÷ c   =    a  x  d  =   ad

b     d          b      c        bc

5. Comparaison : s’il y a le même dénominateur, on compare les numérateurs ; sinon on les met au même dénominateur.

Exemple concret :

Vous partagez une pizza avec 2 amis. Chacun prend 1/3, mais vous avez encore faim : vous prenez la moitié de la part de votre voisin :

1 x 1 = 1

2    3    6

Vous avez maintenant 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2 → la moitié de la pizza !

Autre exemple utile : simplifier une expression :

14  =  14 ÷ 7  =  2

21      21 ÷ 7       3

Simplifier une expression : définition

Simplifier une expression, c'est la réécrire sous une forme plus courte ou plus légère, tout en gardant exactement la même valeur. Autrement dit, on change l'écriture, mais pas le nombre : ce que l'expression vaut avant et après simplification est rigoureusement identique.

Concrètement, ça consiste à repérer les éléments qui « se neutralisent » ou qui sont superflus dans l'expression, et à les faire disparaître de l'écriture :

• - les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, qu'on peut barrer ;
• - les termes qui s'annulent, comme un nombre moins lui-même ;
• - les calculs qui aboutissent à un résultat plus simple, comme une division qui tombe juste.

L'objectif est double : obtenir une écriture irréductible (qu'on ne peut plus réduire davantage) et donc plus lisible et plus facile à manipuler par la suite. Une expression bien simplifiée, c'est une expression dont on ne peut plus rien enlever sans en changer la valeur.

Règle d'or : on ne peut « barrer » que des facteurs (des éléments en multiplication) au numérateur et au dénominateur, jamais des termes d'une addition ou soustraction. Simplifier n'est pas supprimer : c'est transformer proprement, en justifiant chaque étape.

Cas particuliers à retenir :

• a/1 = a : tout entier est une fraction (7 = 7/1)
• 0/b = 0 : zéro divisé par n'importe quoi, ça fait 0.
• b/1 = attention : b/0 est IMPOSSIBLE  : on ne divise jamais par 0
• a/a = 1 (si a ≠ 0).
• Fractions irréductibles : quand on ne peut plus simplifier (ex. 3/4), que chaque nombre de la fraction a été divisé au maximum
• Nombres rationnels : un nombre est rationnel s'il s'écrit a/b. Certains ne le peuvent pas : √2 et π sont irrationnels.
• Signe d'une fraction : le signe est celui du quotient : (-3)/4 = 3/(-4) = -(3/4). Par convention, on met le signe devant : −3/4.
•  Piège classique : pour additionner, on ne fait PAS (a+c)/(b+d) ! Il faut toujours un dénominateur commun.

La factorisation : c'est quoi ?

Factoriser, c'est transformer une somme (ou une différence) en un produit. On cherche un élément commun à plusieurs termes, on le « met en évidence » devant, et on regroupe le reste dans une parenthèse.

L'expression est identique, seule l'écriture change : on est passé de « deux paquets » à « un facteur commun × une parenthèse ».

Ici, “a” est l’élément commun. Reste “b” et “c” qui sont regroupés ensembles. 

Exemple 1 : facteur commun visible

Le facteur commun est 3x :

Exemple 2 : identités remarquables

Elles se repèrent à la forme de l'expression :

a) Carré parfait → identité a² + 2ab + b² = (a+b)²

On le voit car : premier terme = un carré (x²), dernier terme = un carré (25 = 5²), terme du milieu = le double produit (10x = 2 × x × 5).

b) Différence de deux carrés → identité a² − b² = (a−b)(a+b)

Repère visuel : deux carrés séparés par un « moins » → c'est toujours cette identité.

Exemple 3 : factoriser pour simplifier une fraction

C'est le lien avec les fractions :

On factorise d'abord le numérateur, le facteur commun x apparaît en haut et en bas, puis on le barre pour simplifier.

Rappel du piège : on ne barre que des facteurs (multiplications), jamais des termes d'une addition. C'est pour ça qu'on doit factoriser d'abord : sans la forme produit, impossible de simplifier proprement.

En maths, apprendre bêtement des exemples et des définitions ne vous fera pas comprendre le problème.

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