Les inéquations

Définition :

Une inéquation est une inégalité qui contient une inconnue (souvent notée x).
Contrairement à une équation (où on cherche une valeur exacte, par exemple x =3), une inéquation donne un ensemble de solutions (par exemple x > 2 signifie que x peut être 3, 4, 5, etc.).

- Symboles courants :

• >(strictement supérieur)
• <(strictement inférieur)
• ≥(supérieur ou égal)
• ≤(inférieur ou égal)

Formules magiques :

- Addition / Soustraction :
On peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés sans changer le sens de l’inégalité.

Exemple :

x+5>2
→ x>2−5
→ x>−3

- Multiplication / Division par un nombre positif :
On peut multiplier ou diviser par un nombre positif sans changer le sens de l’inégalité.

Exemple :

3x≤6
→ x≤6/3
→ x≤2

- Multiplication / Division par un nombre négatif = Le sens de l’inégalité change !

Exemple :

−2x>4
→ x<4/2
x<−24  (on divise par −2 et on inverse > en <)
→ x<−2

- Inversion :
Si a<b, alors 1/a > 1/b  (si a et b sont de même signe).

Exemple concret dans la vie quotidienne :

- Situation :
On veut acheter des stylos. Chaque stylo coûte 1,50 €, et tu as 10 € dans votre portefeuille.
Combien de stylos peut-on acheter au maximum ?

- Modélisation :

Soit x = nombre de stylos, 1,5x≤10 (le coût total ne doit pas dépasser 10 €).

- Résolution :

x≤10/1,5

x≤6,6.

- Interprétation :
On peut acheter au maximum 6 stylos (car x doit être un entier).

Cas particuliers à connaître :

- Inéquations sans solution : Exemple : x<x+1→ Toujours vrai (tous les nombres réels sont solutions).

Exemple : x>x+5 → Aucune solution (impossible).

- Inéquations avec des fractions = Attention aux dénominateurs nuls !

Exemple : x−21 ≥0 → Il faut exclure x=2 (car division par 0 impossible) et résoudre l’inégalité.

- Inéquations avec des valeurs absolues

∣x∣≤a (où a>0) → −a≤x≤a

Exemple : ∣x−3∣<2 →1<x<5 

- Inéquations produits ou quotients :

Pour résoudre (2x+1)(−x+4)≥0, on utilise un tableau de signes (à voir en cours) 

Astuce pour retenir : penser à la balance

• Si on ajoute ou soustrait le même poids des deux côtés, la balance reste équilibrée (sens inchangé).
• Si on multiplie par un nombre négatif, c’est comme si tu retournais la balance (sens inversé).

Précisions :

Le choix des opérations (addition, soustraction, multiplication, division) dépend uniquement de la forme de l’inéquation et de ton objectif : isoler x pour trouver les solutions.

Méthode pas à pas :

1. Simplifier l’inéquation

Si l’inéquation contient des parenthèses ou des termes combinés, commencer par développer ou réduire :

• Exemple : 3(x+2)>5
  → Développer d’abord : 3x+6>5.

2. Isoler le terme avec x

Utiliser les opérations inverses pour éliminer les nombres autour de x, dans l’ordre suivant :

• un nombre = soustraire ce nombre des deux côtés

Ex : x+4>7 → x>7−4

− un nombre = ajouter ce nombre des deux côtés

Ex : x−3≤1 → x≤1+3

× un nombre = diviser par ce nombre des deux côtés

Ex : 2x<8 → x<2/8

/ un nombre = multiplier par ce nombre des deux côtés

Ex : x/5 ≥2 → x≥2×5

3.  Attention aux pièges !

• Multiplication/division par un nombre négatif = Inverse toujours le sens de l’inégalité !
  Exemple : −3x≥9
  → Diviser par −3 et inverser ≥ en ≤ : x≤−3.
• Ne jamais diviser par 0 :
  Si on a un dénominateur comme x−2, exclure x=2 de tes solutions.

- Exemple complet

Énoncé : Résous 5x−7<2x+8.

Étapes :

Regrouper les x :
Soustraire 2x des deux côtés :

5x−2x−7<8
→ 3x−7<8.

Isoler le terme avec x :
Ajouter 7 des deux côtés :

3x<8+7
→ 3x<15.

Isoler x :
Diviser par 3 (positif, donc sens inchangé) :

x<3/15
→ x<5.

Solution : Tous les nombres strictement inférieurs à 5.

- Comment savoir si c’est "+", "−", "×" ou "÷" ?

• C’est comme une équation : on fait l’opération inverse pour "annuler" ce qui est autour de x.
• Priorité :
  1. Parentheses (développer si besoin).
  2. Addition/Soustraction (pour déplacer les constantes).
  3. Multiplication/Division (pour isoler x).
  4.  

"Fais le contraire pour annuler, et attention au signe !"

• Si on a +5, soustraire 5.
• Si on a ×(-2), diviser par -2 et inverser le sens.

"Strictement" en mathématiques : point définition et impact

Le mot "strictement" précise que l’égalité n’est pas incluse dans la solution.
C’est une nuance cruciale pour les inéquations, car elle détermine si le nombre limite fait partie des solutions ou non.

1. Sens mathématique

< = inférieur strictement (ex : x<3)

- strictement ? = oui

- inclut l’égalité ? = non

> = supérieur strictement (ex : x>-2)

- strictement ? = oui

- inclut l’égalité ? = non

< = inférieur ou égal (ex : x<5)

- strictement ? = non

- inclut l’égalité ? = oui

> = supérieur ou égal (ex : x>0)

- strictement ? = non

- inclut l’égalité ? = oui

2. Impact sur la réponse

- Avec "strictement" ( < ou > ) : La solution n’inclut pas la valeur limite Exemple : x<4 → Les solutions sont tous les nombres plus petits que 4, mais pas 4 lui-même.

Représentation : 4 est barré ou en pointillés sur une droite graduée

- Sans "strictement" ( ≤ ou ≥ ) : La solution inclut la valeur limite.

Exemple : x≤4 → Tous les nombres inférieurs ou égaux à 4, y compris 4.

Représentation : 4 est marqué avec un crochet fermé [

3. Exemple concret

Problème :

Vous avez moins de 10 € pour acheter des stylos à 2 € l’un.
Combien pouvez-vous en acheter ?

• Modélisation : 2x<10 (car vous avez strictement moins de 10 €).
  → x<5.
• Interprétation :
  Vous pouvez acheter 0, 1, 2, 3 ou 4 bonbons, mais pas 5 (car 2×5=10, et vous n’avez pas assez pour 5 bonbons).

Si le problème était :
"Vous avez au plus 10 €" → 2x≤10 → x≤5.
Alors vous pouvez acheter jusqu’à 5 bonbons (car 10 € suffisent exactement).

"Strictement" = l’égalité est exclue. Utilisé avec < ou >, jamais avec ≤ ou ≥.. 

Nous ne sommes pas tous égaux face à l’apprentissage. 

Vous pouvez retrouver des exercices-types sur le site gratuit Khan Academy.