Système International (SI), conversions et analyse dimensionnelle

Pourquoi des unités ?

Mesurer, c'est comparer une grandeur à une grandeur de référence appelée unité. Sans unité, un nombre ne veut rien dire : « la table fait 2 » ne signifie rien, « la table fait 2 mètres » a un sens.

Définition : une grandeur physique est ce que l'on mesure (longueur, masse, temps, température…). Une unité est la référence choisie pour la mesurer.

Le Système International (SI)

Le SI est le système d'unités utilisé dans le monde entier. Il repose sur 7 unités de base ; toutes les autres unités s'en déduisent.

Unités dérivées

Elles s'obtiennent par combinaison des unités de base :

Cas particuliers à retenir

• Le kilogramme est la seule unité de base dont le nom contient un préfixe (« kilo »).
• La température SI est le kelvin (K), sans le mot « degré ». Conversion : T(K) = T(°C) + 273,15. Les degrés Celsius ne sont pas SI.
• Certaines unités hors SI restent tolérées : minute, heure, litre (1 L = 10⁻³ m³), électron-volt.
• Le radian (angle) est une unité dérivée un peu spéciale : l'angle est adimensionnel.

Préfixes multiplicateurs

À mémoriser en priorité : k, h, da / d, c, m.

Conversions

a) Multiples de 10 : déplacer la virgule

Convertir, c'est multiplier par un facteur de conversion. Exemples :

• 2,5 km = 2,5 × 10³ m = 2500 m
• 300 mm = 300 × 10⁻³ m = 0,3 m
• 45 min = 45 × 60 s = 2700 s  (facteur 60, pas 10 !)

b) Surfaces et volumes : attention aux exposants !

• Longueur : 1 cm = 10⁻² m
• Surface : 1 cm² = (10⁻²)² m² = 10⁻⁴ m²
• Volume : 1 cm³ = (10⁻²)³ m³ = 10⁻⁶ m³
• Litres : 1 L = 1 dm³ = 10⁻³ m³, donc 1 mL = 1 cm³
• Erreur classique : oublier de doubler/tripler l'exposant.

c) Vitesses et unités composées

Convertir km/h → m/s : diviser par 3,6.

- v = 90 km/h = 90 000 m / 3600 s = 25 m/s

- Calculer l’inverse (m/s → km/h) : multiplier par 3,6.

d) Méthode du tableau de conversion

Écrire les colonnes (km, hm, dam, m, dm, cm, mm…) et placer 1 chiffre par colonne pour les longueurs, 2 pour les surfaces, 3 pour les volumes.

Analyse dimensionnelle

Définition : la dimension d'une grandeur exprime sa nature physique. On note les dimensions de base : L (longueur), M (masse), T (temps), I (courant), Θ (température). L'équation aux dimensions d'une grandeur l'exprime avec ces dimensions de base.

Le point que l’on retrouve dans ces expressions (ex : L·T⁻¹) signifie “multiplication”.

Exemples :

• Vitesse : [v] = [d]/[t] = L·T⁻¹
• Force : [F] = [m]·[a] = M·L·T⁻²
• Énergie : [E] = M·L²·T⁻²

Pourquoi c'est utile ?

1. Vérifier une formule : une équation physique doit avoir la même dimension des deux côtés (« homogénéité »). Si ça ne colle pas, la formule est forcément fausse.
2. Retrouver une unité : avec P = F·v, on retrouve [P] = M·L²·T⁻³, donc le watt = kg·m²·s⁻³.

Exemple complet de vérification

La formule v = √(2gh) (vitesse de chute libre) est-elle homogène ?

• [g] = L·T⁻² et [h] = L, donc [2gh] = L²·T⁻²
• [√(2gh)] = L·T⁻¹
• C'est bien la dimension d'une vitesse → formule plausible.

Théorème de l'homogénéité

Dans toute égalité physique, les deux membres ont la même dimension. Les arguments de sin, cos, exp, ln… doivent être adimensionnels.

Exemple : sin(ωt) est correct car [ω] = T⁻¹, donc ωt est sans dimension.

Cas particuliers et pièges :

• Les angles sont adimensionnels : [θ] = 1.
• Les constantes peuvent avoir une dimension (ex. la constante k dans F = k/r²).
• Une formule homogène peut quand même être fausse (mauvais facteur numérique) : l'homogénéité est nécessaire mais pas suffisante.
• Additionner des grandeurs différentes (3 m + 5 s) n'a aucun sens.

Résumé express

• - 7 unités SI de base : m, kg, s, A, K, mol, cd.
• - Toutes les autres unités (N, J, W, Pa…) sont des combinaisons de celles-ci.
• - Convertir = multiplier par un facteur (attention aux carrés/cubes et aux facteurs 60, 3600, 3,6).
• - L'analyse dimensionnelle vérifie la cohérence des formules : même dimension de chaque côté.
• - Une équation non homogène est fausse ; une équation homogène n'est pas forcément vraie.

La physique dépend fortement des maths via l’application des formules dédiées. 

Vous pouvez retrouver des exercices sur kwyk.fr, des exercices et annales corrigées sur Labolycée et des vidéos explicatives sur la chaîne YouTube PCCL.