Les identités remarquables

Une identité remarquable est une égalité qui est toujours vraie, quelles que soient les valeurs des nombres. C'est une « formule magique » qui permet de passer très vite d'une somme à un produit (factorisation) ou l'inverse (développement).

Il y en a trois à connaître :

1. (a + b)² = a² + 2ab + b²
2. (a − b)² = a² − 2ab + b²
3. (a − b)(a + b) = a² − b²

En français : « le carré d'une somme », « le carré d'une différence », et « le produit d'une somme par une différence ».

Pourquoi ça marche :

Prenons la première : (a + b)² veut dire (a + b) × (a + b). Si on développe en distribuant :

(a + b)(a + b)

= a×a + a×b + b×a + b×b

= a² + ab + ab + b²

= a² + 2ab + b²

Les deux « ab » du milieu fusionnent : voilà le double produit.

La deuxième est identique, mais le « moins » change les signes du milieu :

(a − b)(a − b)

= a² − ab − ab + b²

= a² − 2ab + b²

La troisième est plus simple : les termes du milieu s'annulent.

(a − b)(a + b)

= a² + ab − ab − b²

= a² − b²

Exemples concrets :

Développer (avec des nombres)

• (x + 3)² = x² + 2 × x × 3 + 3² = x² + 6x + 9
• (x − 5)² = x² − 2 × x × 5 + 5² = x² − 10x + 25
• (x − 7)(x + 7) = x² − 49

Le plus compliqué est de voir que « a » et « b » sont des nombres ici : dans (2x + 3)², a = 2x et b = 3 :

(2x + 3)²

= (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3²

= 4x² + 12x + 9

Factoriser

On part de la forme développée et on retrouve le produit :

• x² + 10x + 25 → deux carrés (x² et 25 = 5²) + un double produit (10x = 2·x·5) → (x + 5)²
• x² − 49 → deux carrés séparés par un « moins » → (x − 7)(x + 7)
• 4x² − 12x + 9 → deux carrés (4x² = (2x)² et 9 = 3²) + milieu = −2·2x·3 → (2x − 3)²

À quoi ça sert concrètement ?

• Calcul mental de tête :

101²

= (100 + 1)²

= 10000 + 200 + 1

= 10201 (Ou 99²)

= (100 − 1)²

= 10000 − 200 + 1

= 9801

• Résoudre des équations : x² − 49 = 0 devient (x − 7)(x + 7) = 0, donc x = 7 ou x = −7.
• Une factorisation remplace le discriminant.
• Simplifier des fractions : (x² − 9)/x s'écrit ((x − 3)(x + 3))/x, et on peut alors barrer des facteurs communs.

Cas particuliers et pièges :

1. oublier le double produit

(a + b)² ≠ a² + b²

(3 + 2)² = 25, mais 3² + 2² = 13

Ce n’est pas pareil. La vraie formule est a² + 2ab + b².

Le même piège en sens inverse : a² + b² ne se factorise pas. Il n'existe aucune identité pour cette somme.

2. se tromper de signe dans (a − b)²

(a − b)² = a² − 2ab + b² → le b² reste positif. Un « moins » au carré redevient positif. (x − 4)² = x² − 8x + 16 (et pas −16).

3. les signes dans (a − b)(a + b)

(a − b)(a + b) = a² − b² → seul b change de signe. Si on a (−a + b)(a + b), il vaut mieux réordonner : (b − a)(b + a) = b² − a².

4. a et b peuvent être « cachés »

Dans 4x² − 9, il n'y a pas de « x » apparent au carré… mais 4x² = (2x)². Il faut voir a = 2x et b = 3. Astuce : vérifier mentalement que le milieu correspond bien au double produit — sinon ce n'est pas une identité.

5. « presque » une identité

x² + 6x + 10 n'est pas factorisable : 10 n'est pas un carré (9 = 3² le serait, et on aurait (x + 3)²). Avant de factoriser, vérifier les indices : carré ? double produit ? Si l'un manque, ce n'est pas une identité remarquable.

6. les fractions et racines comptent aussi

a et b peuvent être des fractions : (x + 1/2)² = x² + x + 1/4 (car 2 × x × 1/2 = x). Pas de panique, la formule fonctionne tout de même.

Méthodes résumées :

Pour développer

1. Reconnaître la forme : (a + b)², (a − b)² ou (a − b)(a + b).
2. Identifier clairement a et b (attention aux « cachés » comme 2x ou 1/2).
3. Appliquer la formule sans oublier le double produit (c'est le terme du milieu).
4. Simplifier l'écriture finale.

Pour factoriser

1. Regarder la forme de l'expression :
   • deux carrés + « moins » entre eux → a² − b² = (a − b)(a + b) ;
   • deux carrés + un terme du milieu → (a + b)² ou (a − b)² selon le signe du milieu.

2. Vérifier les trois indices : premier carré ? dernier carré ? milieu = double produit ?
3. Écrire la factorisation.
4. Contrôle : redévelopper mentalement — on doit retrouver l'expression de départ.

La ligne à retenir (en toutes lettres)

« Carré du premier + double produit (avec son signe) + carré du deuxième. »

Ces calculs sont complémentaires aux factorisations, équations du premier et second degré, inéquations.