Apprendre à lire un graphique

Un graphique est une phrase mathématique dessinée : il raconte l'évolution d'une quantité en fonction d'une autre.

Définitions :

La lecture d'un point se fait toujours en deux temps : partir du point, descendre verticalement pour lire x, avancer horizontalement pour lire y

Toutes les définitions du tableau sont visibles ici : le repère (les deux axes), l'origine O en rouge, les graduations (ici 1 carreau = 1), un point M(2 ; 2,4) de la courbe avec ses deux traits de lecture en pointillés — verticaux pour lire l'abscisse sur l'axe horizontal, horizontaux pour lire l'ordonnée sur l'axe vertical.

Quatre questions à se poser devant n'importe quel graphique :

1. Que représente chaque axe ? (unités : secondes ? mètres ? euros ?)
2. Quelle est l'échelle ? (un carreau = 1 ? = 5 ? = 100 ?)
3. Comment ça évolue ? (ça monte, ça descend, ça stagne…)
4. Y a-t-il des points remarquables ? (origines, sommets, croisements avec les axes…)

Les lectures fondamentales :

a) Lire l'image d'un point (x → f(x))

« Quelle est la hauteur à t = 2 s ? »

1. Repérer x = 2 sur l'axe horizontal.
2. Monter verticalement jusqu'à toucher la courbe.
3. Partir horizontalement vers l'axe vertical pour lire la valeur.

b) Lire un antécédent (f(x) → x) — le sens inverse

« À quel moment la hauteur vaut-elle 10 m ? »

1. Repérer 10 sur l'axe vertical.
2. Avancer horizontalement jusqu'à toucher la courbe (possiblement plusieurs points de contact)
3. Descendre vers l'axe horizontal pour lire la ou les valeurs.

Voici le lien avec les équations de second degré : les antécédents de 0 par f sont les racines de ax² + bx + c = 0, et le discriminant Δ dit combien de fois la courbe touche la ligne « hauteur 0 ».

c) Le sens de variation

Les points remarquables :

• Racine(s) / zéro(s) : point(s) où la courbe coupe l'axe horizontal (y = 0). Pour une parabole : 0, 1 ou 2 racines selon le signe de Δ.
• Ordonnée à l'origine : valeur de y quand x = 0 — le point de départ (dans l'exemple de la balle : t = 0, hauteur 0).
• Maximum : le point le plus haut atteint (la courbe passe « par-dessus » une ligne horizontale qui la touche) — c'est le sommet d'une parabole tournée vers le bas.
• Minimum : le point le plus bas — sommet d'une parabole tournée vers le haut.
• Point d'intersection de deux courbes : la solution « graphique » d'une équation f(x) = g(x) : on lit x au croisement.

Exemple du graphique de la balle :

Reprenons le graphique du cours sur le second degré : h(t) = −5t² + 20t.

• Axes : abscisses = t (temps en secondes), ordonnées = h (hauteur en mètres).
• Origine : (0 ; 0) → au départ, la balle est au sol.
• Sens de variation : la courbe monte de t = 0 à t = 2 (montée ↗), puis descend de t = 2 à t = 4 (descente ↘).
• Maximum : sommet S(2 ; 20) → hauteur maximale 20 m, atteinte à 2 s.
• Racines : la courbe coupe l'axe horizontal en t = 0 et t = 4 → la balle est au sol au départ et à la 4ᵉ seconde.
• Lecture d'image : à t = 1 s, la courbe donne h = 15 m (la balle est à 15 m de haut).
• Lecture d'antécédent : h = 15 m est atteint deux fois (à t = 1 s en montée et à t = 3 s en descente) — parfait exemple de valeur qui a plusieurs antécédents !

Tout ce qui avait été calculé avec Δ et les formules se lit directement sur le dessin.

Problèmes courants lors de la lecture :

1 : ne pas regarder l'échelle

Un carreau horizontal peut valoir 1 seconde et un carreau vertical 5 mètres. Toujours lire les graduations avant de conclure. Deux graphiques de tailles différentes peuvent représenter exactement la même chose.

2 : confondre image et antécédent

Image : partir de x vers y (lecture verticale). Antécédent : partir de y vers x (lecture horizontale). Les mélanger donne le contraire de la bonne réponse.

3 : croire qu'une valeur n'a qu'un antécédent

Une hauteur peut être atteinte plusieurs fois (comme h = 15 m dans l'exemple : 2 fois). Toujours balayer toute la courbe, pas seulement un morceau.

4 : lire « à l'œil » sans pointillés

Sans traits de construction (pointillés verticaux/horizontaux), on lit souvent la case voisine. Tracer mentalement (ou au crayon si cela est possible) les traits de lecture peuvent aider la lecture.

5 : confondre « coupe » et « touche »

Une parabole avec Δ = 0 touche l'axe (un seul point de contact) alors qu'avec Δ > 0 elle le coupe (deux points). Graphiquement, ce sont les deux cas « 1 racine » et « 2 racines ».

6 : extrapoler hors du dessin

Le graphique ne montre la courbe qu'entre certaines valeurs de x. Ce qui se passe avant ou après la fenêtre tracée n'est pas garanti. Si le graphique ne le montre pas, c’est inutile de l’imaginer et dans la plupart des cas, ce n’est pas ce que l’on vous demande.

En résumé :

1. Lire le titre et les axes : que représente x ? que représente y ? en quelles unités ?
2. Vérifier l'échelle des graduations (et repérer l'origine).
3. Pour lire une image : partir de x sur l'axe horizontal → monter à la courbe → lire y.
4. Pour lire un antécédent : partir de y sur l'axe vertical → aller à la courbe (tous les points de contact) → lire x.
5. Repérer les points remarquables : racines, maximum/minimum, point de départ.
6. Décrire les variations : où ça monte, où ça descend, où c'est stable.
7. Relier au calcul : racines ↔ solutions de f(x) = 0, sommet ↔ maximum/minimum, intersections de courbes ↔ solutions de f(x) = g(x).