Fonctions linéaires et affines

Définitions :

Fonction

Une fonction est une "machine" qui transforme un nombre x (l'antécédent) en un autre nombre y (l'image). On note f(x)l'image de x.

Fonction linéaire

Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité. Elle s'écrit :

f(x) = mx (ou y = mx)

• m est appelé le coefficient de proportionnalité ou coefficient directeur (la "pente").
• Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine O (0 ; 0).
• Exemple : f(x) = 3x. Alors f(2) = 6, f(−1) = −3, f(0) = 0.

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction linéaire + une constante. Elle s'écrit :

f(x) = mx + p (ou y = mx + p)

• m = coefficient directeur (la pente de la droite)
• p = ordonnée à l'origine : c'est la valeur de f(0). La droite coupe l'axe des ordonnées au point (0 ; p).
• Exemple : f(x) = 2x + 1. Alors f(0) = 1, f(2) = 5, f(−1) = −1.

Lien entre les deux

Toute fonction linéaire est une fonction affine avec p = 0. La fonction linéaire est un cas particulier de la fonction affine.

Propriétés et formules :

Représentation graphique

• Une fonction affine y = mx + p est représentée par une droite non verticale.
• Pour tracer une droite, il suffit de 2 points !

Lire le coefficient directeur m

Si on connaît deux points A(xA ; yA) et B(xB ; yB) de la droite :

m = (yB − yA) / (xB − xA)

C'est le "déplacement vertical divisé par le déplacement horizontal" entre deux points de la droite.

Lien entre m et la pente

• Si m > 0 : la droite monte (de gauche à droite).
• Si m < 0 : la droite descend.
• Si m = 0 : la droite est horizontale (fonction constante f(x) = p).

Déterminer p (ordonnée à l'origine)

On lit l'ordonnée du point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical). Ou on le calcule : si on connaît m et un point (x₀ ; y₀), alors p = y₀ − m·x₀.

Signe et variations

• Si m > 0 : la fonction est croissante.
• Si m < 0 : la fonction est décroissante.
• Si m = 0 : la fonction est constante.

Exemples concrets :

Exemple 1 : le taxi (fonction affine)

Un taxi facture 5 € de prise en charge plus 0,80 € par kilomètre.
Prix : f(x) = 0,8x + 5

• m = 0,8 (prix au km) → la droite monte
• p = 5 (prise en charge) → à 0 km, on paie déjà 5 €
• Pour 20 km : f(20) = 0,8 × 20 + 5 = 21 €

Exemple 2 : proportionnalité pure (fonction linéaire)

Du pain à 1,20 € la baguette : f(x) = 1,2x

• Pas de frais fixe : si j'achète 0 baguette, je paie 0 € (droite qui passe par l'origine).

Exemple 3 : déterminer l'équation d'une droite

Une droite passe par A(1 ; 3) et B(3 ; 7).

1. Coefficient directeur : m = (7 − 3)/(3 − 1) = 4/2 = 2
2. p : avec A(1 ; 3) → p = y − mx = 3 − 2×1 = 1
3. Équation : y = 2x + 1

Exemple 4 : tracer y = −x + 4

Deux points suffisent : x = 0 → y = 4, et x = 4 → y = 0. On relie les points (0 ; 4) et (4 ; 0).

Cas particuliers et pièges :

1. Linéaire ≠ affine : y = 3x est linéaire (passe par l'origine), y = 3x + 2 est affine mais PAS linéaire (elle ne passe pas par O).
2. p = 0 ne se voit pas toujours : y = 5x + 0 = 5x. C'est une fonction linéaire, même écrite avec "+ 0".
3. m = 0 : f(x) = 3 est une fonction affine constante → droite horizontale. Ce n'est pas "pas une fonction".
4. Ne pas confondre m et p : dans y = 2x + 7, m = 2 (pas 7 !) et p = 7.
5. Attention aux signes : y = 3 − 2x = −2x + 3 → m = −2, p = 3. Réécrire toujours sous la forme mx + p.
6. Proportionnalité : seule la fonction linéaire représente une proportionnalité. Avec une fonction affine (p ≠ 0), doubler x ne double pas y.
7. Ordre de calcul de m : m = (yB − yA)/(xB − xA) — ne pas mélanger les points. Si l’on inverse les y, inverser aussi les x.
8. Tracer sans tableau : 2 points suffisent, mais prendre des x espacés (x = 0 et x = 5, pas x = 0 et x = 0,5) sinon la droite est imprécise.

Résumé :

Formules à retenir :

• m = (y_B − y_A) / (x_B − x_A)
• p = f(0) = ordonnée à l'origine
• p = y₀ − m·x₀ (à partir d'un point connu)
• Pour tracer : 2 points suffisent

En une phrase : linéaire = proportionnalité (y = mx, droite par l'origine) ; affine = linéaire + constante (y = mx + p) ; m donne la pente, p donne la hauteur de départ.