Les fonctions quadratiques

Définition :

Une fonction quadratique (ou fonction du second degré) est une fonction de la forme :

f(x) = ax² + bx + c avec a ≠ 0 (autrement ce n'est plus une parabole, c'est une droite)

• a : le coefficient qui donne la direction de la parabole (vers le haut ou vers le bas)
• b : influence la position horizontale du sommet
• c : c'est f(0), c'est-à-dire l'ordonnée du point où la courbe coupe l'axe des y

Sa courbe représentative est une parabole : une courbe en « U » parfaitement symétrique.

Les trois formes de f(x) :

L'essentiel : les trois formes décrivent la même fonction. On passe de l'une à l'autre selon ce que l’on cherche (sommet → canonique, racines → factorisée).

Le sommet et l'axe de symétrie :

Chaque parabole a un point « tournant » appelé sommet S(α ; β) :

• α = −b / (2a) (abscisse du sommet)
• β = f(α) = −Δ / (4a) (ordonnée du sommet)

La parabole est symétrique par rapport à la droite verticale d'équation :

x = −b / (2a) (l'axe de symétrie)

• Si a > 0 : la parabole est « sourire »  → le sommet est un minimum
• Si a < 0 : la parabole est « froncement de sourcils »  → le sommet est un maximum

Les racines et le discriminant Δ :

Les racines sont les valeurs de x où la courbe coupe l'axe des x (c'est-à-dire f(x) = 0).

On calcule d'abord le discriminant :

Δ = b² − 4ac

Trois cas possibles :

1. Δ > 0 : deux racines distinctes
   x₁ = (−b − √Δ) / 2a et  x₂ = (−b + √Δ) / 2a
   → La parabole coupe l'axe des x en 2 points.
2. Δ = 0 : une racine double
   x₀ = −b / 2a
   → La parabole touche l'axe des x en un seul point (le sommet !).
3. Δ < 0 : aucune racine réelle
   → La parabole ne coupe jamais l'axe des x.

Lien avec le sommet : β = −Δ/(4a). Donc si Δ < 0, le sommet ne touche jamais l'axe des x.

Exemple concret : f(x) = 2x² − 4x − 6

1. Identifier : a = 2, b = −4, c = −6. Comme a > 0, la parabole est tournée vers le haut.
2. Discriminant : Δ = b² − 4ac = (−4)² − 4 × 2 × (−6) = 16 + 48 = 64 → √Δ = 8
3. Racines :

• x₁ = (4 − 8) / 4 = −1
• x₂ = (4 + 8) / 4 = 3
•  

4.    Sommet :

α = −b/(2a) = 4/4 = 1

β = f(1) = 2 − 4 − 6 = −8 → S(1 ; −8)

5.     Forme canonique :
f(x) = 2(x − 1)² − 8  (vérifier : 2(x² − 2x + 1) − 8 = 2x² − 4x + 2 − 8 = 2x² − 4x − 6 )

Forme factorisée : f(x) = 2(x + 1)(x − 3)

Signe de la parabole et tableau de signes :

Le signe de f(x) dépend de a et des racines :

• a > 0 (parabole vers le haut) : f(x) est négatif entre les racines, positif à l'extérieur
• a < 0 (parabole vers le bas) : f(x) est positif entre les racines, négatif à l'extérieur

Moyen mnémotechnique : « dehors, la parabole a le signe de a ; dedans (entre les racines), elle a le signe opposé ».

Cas particuliers :

• c = 0 → la parabole passe par l'origine (0 est une racine)
• b = 0 → la parabole est symétrique par rapport à l'axe des y (le sommet est sur cet axe)
• Δ = 0 → le sommet est sur l'axe des x : la forme canonique est f(x) = a(x − α)²
• a < 0 → parabole « vers le bas », sommet = maximum, tout est inversé
• |a| grand → parabole « resserrée » ; |a| petit (ex. 0,1) → parabole « ouverte »
• a = 0 →  ce n'est plus une fonction quadratique, c'est une droite (fonction affine) !

Résumé :

Les 3 réflexes à avoir :

1. Lire a → je sais si la parabole va vers le haut ou le bas
2. Calculer Δ → je sais combien de racines il y a (2, 1 ou 0)
3. Calculer α = −b/2a → je trouve le sommet et l'axe de symétrie

Δ < 0 ? Pas de racine.

Δ = 0 ? Le sommet touche l'axe des x.

Δ > 0 ? Deux points de coupe.