Cercle trigonométrique, radian, sin, cos, tan

Le cercle trigonométrique :

Définition

Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, centré sur l'origine O d'un repère orthonormé (Ox horizontal vers la droite, Oy vertical vers le haut).

On s'y déplace à partir du point (1 ; 0) — l'extrémité droite du cercle — en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens trigonométrique (ou sens direct).

Vocabulaire

• Point M : le point mobile sur le cercle. Son abscisse est le cosinus de l'angle, son ordonnée le sinus.
• Angle orienté : un angle mesuré en tenant compte du sens de rotation (positif dans le sens direct, négatif dans le sens des aiguilles d'une montre).
• Un tour complet = 360° = 2π radians.
• Quart de tour = 90° = π/2 rad. Le cercle se découpe ainsi en quatre quadrants :
  1. Quadrant I (0 à π/2) : x > 0, y > 0
  2. Quadrant II (π/2 à π) : x < 0, y > 0
  3. Quadrant III (π à 3π/2) : x < 0, y < 0
  4. Quadrant IV (3π/2 à 2π) : x > 0, y < 0

Propriétés

• La circonférence du cercle vaut 2π (rayon 1) : c'est pour cela qu'un tour complet mesure 2π radians.
• Même angle ⟹ même point : ajouter un tour complet (2π) ne change rien. On dit que les angles sont définis modulo 2π.
• Symétries : les valeurs de cos et sin se lisent par symétries autour des axes Ox, Oy et des bissectrices.

Les radians :

Définition

Le radian est l'unité de mesure d'angle définie ainsi : un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur égale au rayon du cercle. Sur le cercle trigonométrique (rayon 1), la mesure en radians est donc la longueur de l'arc parcouru.

Conversion degrés ↔ radians

La correspondance fondamentale : 180° = π rad.

Formules de conversion :

• degrés → radians : multiplier par π/180
• radians → degrés : multiplier par 180/π

Propriétés

• Un angle en radians est un nombre réel : on peut lui appliquer toutes les opérations habituelles (c'est l'avantage sur les degrés).
• Le radian est l'unité obligatoire dès qu'on fait de l'analyse (dérivées, intégrales) : les formules comme (sin x)′ = cos x ne sont valables qu'en radians.

Exemple concret

Un vélo dont les roues font 30 cm de rayon roule. Si la roue tourne d'un angle θ (en radians), la distance parcourue vaut d = R × θ. Pour 5 tours complets : θ = 5 × 2π = 10π rad, donc d = 0,30 × 10π ≈ 9,42 m. C'est tout l'intérêt du radian : il relie directement angle et longueur.

Cosinus, sinus, tangente :

Définitions

Soit M le point du cercle trigonométrique associé à un angle x (mesuré depuis l'axe Ox) :

• cos x = abscisse de M (projection sur l'axe horizontal)
• sin x = ordonnée de M (projection sur l'axe vertical)
• tan x = sin x / cos x = pente de la droite OM

On retient souvent le triangle rectangle : pour un angle aigu a,

• cos a = adjacent / hypoténuse
• sin a = opposé / hypoténuse
• tan a = opposé / adjacent

Moyen mnémotechnique classique : « CAH-SOH-TOA » (Cos = Adjacent/Hypoténuse, Sin = Opposé/Hypoténuse, Tan = Opposé/Adjacent).

Valeurs remarquables à connaître par cœur

Astuce de mémorisation : sin suit la suite 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 (souvent retenue avec les racines de 0, 1, 2, 3, 4 divisées par 2), et cos en est le miroir dans l'autre sens.

Signes selon le quadrant

Propriétés et formules essentielles :

La relation fondamentale

Interprétation géométrique : le point M est à distance 1 de O (théorème de Pythagore appliqué au triangle O–projection).

Parité et périodicité

• cos est paire : cos(−x) = cos x
• sin est impaire : sin(−x) = −sin x
• tan est impaire : tan(−x) = −tan x
• Périodicité : cos(x + 2π) = cos x, sin(x + 2π) = sin x, tan(x + π) = tan x (la tangente a une période de π seulement !)

Formules de symétrie (à déduire du cercle, pas à apprendre bêtement)

• cos(π − x) = −cos x et sin(π − x) = sin x
• cos(π + x) = −cos x et sin(π + x) = −sin x
• cos(π/2 − x) = sin x et sin(π/2 − x) = cos x
• cos(x + π/2) = −sin x et sin(x + π/2) = cos x

Encadrement et lien avec la tangente

• −1 ≤ cos x ≤ 1 et −1 ≤ sin x ≤ 1
• tan x peut prendre toutes les valeurs réelles (elle n'est pas bornée)
• tan x = 1 ⟺ x = π/4 + kπ ; tan x = 0 ⟺ x = kπ

Angles associés dans le triangle

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus a et b sont complémentaires (a + b = 90°), d'où cos a = sin b.

Exemples concrets :

Exemple 1 — Hauteur d'un bâtiment (triangle rectangle)

Vous vous placez à 40 m d'un immeuble ; l'angle entre le sol et le sommet vu depuis votre position est 35°.

hauteur = 40 × tan(35°) ≈ 40 × 0,700 ≈ 28 m

Exemple 2 — Pente d'une route

Une route monte de 50 m sur une distance horizontale de 1 km. La pente vaut tan x = 50/1000 = 0,05, soit un angle d'environ 2,86° (en pourcentage, pente de 5 %).

Exemple 3 — Résolution d'une équation

Résoudre cos x = 1/2 dans [0 ; 2π] :

1. On cherche l'angle du tableau de valeurs : cos(π/3) = 1/2, donc x = π/3 est une solution.
2. Symétrie par rapport à l'axe Ox : x = 2π − π/3 = 5π/3 est l'autre solution.
3. Solutions sur ℝ : x = π/3 + 2kπ ou x = 5π/3 + 2kπ, k entier.

Exemple 4 — Vérification de la relation fondamentale

x = π/3 : cos²x + sin²x = (1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1 ✓

Cas particuliers et pièges à éviter :

Piège 1 — La tangente n'est pas définie partout. tan x = sin x / cos x : impossible quand cos x = 0, c'est-à-dire en x = π/2 + kπ. Écrire tan(π/2) = une valeur est une erreur classique (la calculatrice renvoie "Error" ou un très grand nombre).

Piège 2 — Degrés ou radians ? En calculant sin 30, la calculatrice renvoie ≈ −0,988 si elle est en radians et 0,5 si elle est en degrés. Vérifier toujours le mode de la calculatrice, et convertir si besoin.

Piège 3 — sin x = 1/2 n'a pas une seule solution. Sur [0 ; 2π], il y a deux solutions : x = π/6 et x = 5π/6. Ne pas oublier la solution du deuxième quadrant.

Piège 4 — Ne pas confondre (sin x)² et sin(x²). La notation sin²x signifie (sin x)², pas sin(x²).

Piège 5 — La tangente a une période de π, pas 2π. tan(x + π) = tan x : les solutions d'une équation avec tan se répètent tous les π, pas tous les 2π.

Piège 6 — Nombres négatifs. cos(−x) = cos x mais sin(−x) = −sin x. Les signes des formules de symétrie sont une source d'erreurs fréquente : en cas de doute, redessiner le cercle et repère le point.

Piège 7 — Le sinus et le cosinus sont bornés. Une équation comme cos x = 2 n'a aucune solution (car −1 ≤ cos x ≤ 1).

Résumé :

La méthode en 4 étapes face à un exercice :

1. Identifier l'angle et son quadrant sur le cercle.
2. Écrire cos/sin/tan à partir de la définition (abscisse, ordonnée, rapport).
3. Utiliser les valeurs remarquables et les symétries du cercle.
4. Vérifier le mode de la calculatrice et la cohérence des signes.

Le bon réflexe : en cas de doute, dessiner le cercle trigonométrique. Presque toutes les formules de symétrie, tous les signes et toutes les valeurs se lisent directement dessus.