Droites, cercles, triangles et trigonométrie du triangle rectangle

Droites :

1. Définitions essentielles

• Droite : ensemble de points alignés, illimité dans les deux sens. On la note (d) ou (AB) si elle passe par A et B.
• Demidroite [AB) : tous les points à partir de A en direction de B.
• Segment [AB] : portion de droite comprise entre A et B. Sa longueur se note AB.
• Médiatrice d'un segment [AB] : droite perpendiculaire à [AB] passant par son milieu.

Propriété fondamentale de la médiatrice : tout point de la médiatrice de [AB] est équidistant de A et de B (et réciproquement).

2. Positions relatives de deux droites

Deux droites du plan peuvent être :

Propriétés clés :

• Si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
• Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.
• Par un point extérieur à une droite, il passe une unique droite parallèle à celle-ci (axiome d'Euclide).

3. Droites dans un triangle

• Médiane : segment joignant un sommet au milieu du côté opposé.
• Hauteur : segment joignant un sommet au côté opposé, perpendiculairement à ce côté.
• Médiatrices : les 3 médiatrices d'un triangle se coupent en un point appelé centre du cercle circonscrit.
• Les 3 médianes se coupent au centre de gravité ; les 3 hauteurs se coupent à l'orthocentre.

4. Exemple concret

Pour construire un hangar dont le toit doit être à égale distance des deux poteaux A et B, on plante le poteau central sur la médiatrice de [AB] : il sera automatiquement équidistant de A et B.

Cercles :

1. Définitions

• Cercle de centre O et de rayon r : ensemble des points M tels que OM = r.
• Rayon : segment [OM] (O centre, M sur le cercle).
• Diamètre : segment passant par le centre, joignant deux points du cercle. d = 2r.
• Corde : segment joignant deux points du cercle (le diamètre en est une).
• Tangente : droite qui touche le cercle en un seul point.

2. Propriétés

1. Tangente ⟂ rayon : si une droite est tangente à un cercle en un point M, alors elle est perpendiculaire au rayon [OM] en M.
2. Médiatrice des cordes : la droite perpendiculaire à une corde passant par son milieu passe par le centre du cercle.
3. Cercle circonscrit d'un triangle : le cercle passant par ses 3 sommets, de centre le point d'intersection des médiatrices.
4. Cercle inscrit : cercle tangent aux 3 côtés, de centre l'intersection des bissectrices.
5. Dans un cercle, le rayon perpendiculaire à une corde la coupe en son milieu.

3. Périmètre et aire

4. Pièges

• Rayon ≠ diamètre : dans les formules d'aire, c'est toujours le rayon qu'on utilise. Si l'énoncé donne le diamètre, diviser par 2 d'abord.
• Une corde n'est pas nécessairement un diamètre : elle ne passe par le centre que si sa longueur vaut 2r.
• Angle inscrit / angle au centre : un angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc (si les deux angles sont de même côté, l'angle inscrit est le double de celui de l'autre côté).

Triangles : généralités

1. Définitions et classification

Un triangle est un polygone à 3 côtés. La somme de ses angles vaut toujours 180°.

2. Propriété de la somme des angles

3. Inégalité triangulaire

Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres.

Autrement dit, le point B appartient au segment [AC] si et seulement si AB + BC = AC ; on ne peut former un triangle que si le plus grand côté est strictement plus petit que la somme des deux autres.

Exemple : peut-on construire un triangle de côtés 3, 4 et 8 ? Non : 3 + 4 = 7 < 8. Le triangle est "aplati" (impossible).

4. Droites remarquables et points associés

5. Angles dans les triangles particuliers

• Équilatéral : tous les angles valent 60°.
• Isocèle : les deux angles "à la base" (opposés aux côtés égaux) sont égaux.
• Rectangle : les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme vaut 90°).

Le théorème de Pythagore :

1. Le théorème

Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

Dans un triangle ABC rectangle en A :

L'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit — c'est toujours le plus long côté.

Exemple concret

Une échelle de 5 m appuyée contre un mur, dont le pied est à 3 m du mur : à quelle hauteur touche-t-elle le mur ?

Le triangle (mur–sol–échelle) est rectangle. Hypoténuse = 5 (échelle).

2. La réciproque

Si, dans un triangle, le carré du plus long côté est égal à la somme des carrées des deux autres, alors ce triangle est rectangle (et l'hypoténuse est ce plus long côté).

Triplets pythagoriciens à connaître

3. La contraposée

4. Applications classiques

5. Pièges

• Vérifier que le triangle est rectangle AVANT d'appliquer Pythagore. Le théorème ne s'applique pas à un triangle quelconque.
• Ne pas inverser hypoténuse et côté de l'angle droit : la plus grande valeur au carré doit être seule d'un côté de l'égalité.
• Pour la réciproque, toujours commencer par identifier le plus long côté avant de faire le calcul.
• Une longueur est toujours positive : on garde la racine positive uniquement.

Les théorèmes de Thalès :

1. Le théorème direct

Si deux droites sont parallèles et qu'elles coupent deux sécantes, alors les rapports de longueurs sur ces sécantes sont égaux.

Comment l'appliquer (méthode)

1. Repérer la configuration (2 sécantes + 2 parallèles).
2. Écrire les trois rapports avec les sommets bien alignés (le sommet commun en haut à chaque fraction).
3. Remplacer par les valeurs connues.
4. Résoudre par le produit en croix.

Exemple concret

Un arbre projette une ombre de 6 m. Un bâton de 1,50 m a une ombre de 2 m (mesuré au même moment). Hauteur de l'arbre ?

Les rayons du soleil sont parallèles : configuration de Thalès.

Autre exemple : la règle du photographe ou la détermination d'une largeur de rivière : on mesure des distances accessibles d'un côté de la rive, et le parallélisme donne la largeur inaccessible.

2. Réciproque de Thalès

Si les rapports de longueurs sur les deux sécantes sont égaux (au moins deux rapports égaux), ET que les points sont dans le bon ordre, alors les deux droites sont parallèles.

3. Agrandissement / réduction

4. Pièges

Trigonométrie dans le triangle rectangle :

1. Les trois rapports

"Opposé" et "adjacent" dépendent de l'angle considéré : un côté peut être opposé pour un angle et adjacent pour l'autre angle aigu ! (L'hypoténuse, elle, ne change jamais.)

2. Valeurs remarquables à connaître

3. Deux formules fondamentales

4. Trois types d'exercices

5. Lien avec la somme des angles

6. Pièges

Cas particuliers & pièges classiques (récapitulatif transversal)

Figures types à reconnaître instantanément :

• "Double droite des milieux" : le segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle mesure la moitié du troisième côté et lui est parallèle (théorème des milieux — cas particulier de Thalès).
• Triangle inscrit dans un demi-cercle : si [BC] est un diamètre d'un cercle et A un point du cercle, alors ABC est rectangle en A (superbe lien cercle ↔ Pythagore).
• Hauteur du triangle équilatéral : coupe le triangle en deux triangles rectangles 30-60-90.

8 · Résumé complet

L'essentiel en 10 lignes

Tableau "Quel outil pour quel exercice ?"

Vous pouvez retrouver des exercices-types sur le site de Khan Academy.